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lunedì 18 ottobre 2010

Donald Duck e i numeri primi gemelli!

Ho dedicato da poco un post (qui) a La solitudine dei numeri primi, il film di Saverio Costanzo del 2010 e il best-seller di Paolo Giordano del 2008. Nel romanzo l'autore fa un suggestivo paragone tra la solitudine di certe persone e quella dei numeri primi tra i numeri naturali. Cito nuovamente il passo in questione.

"I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. Se ne stanno al loro posto nell'infinita serie dei numeri naturali, schiacciati come tutti fra due, ma un passo più in là rispetto agli altri. Sono numeri sospettosi e solitari e per questo Mattia li trovava meravigliosi. Certe volte pensava che in quella sequenza ci fossero finiti per sbaglio, che vi fossero rimasti intrappolati come perline infilate in una collana. Altre volte, invece, sospettava che a anche a loro sarebbe piaciuto essere come tutti, dei numeri qualunque, ma che per qualche motivo non ne fossero capaci. Il secondo pensiero lo sfiorava soprattutto di sera, nell'intrecciarsi caotico di immagini che precede il sonno, quando la mente è troppo debole per raccontarsi delle bugie."
 
Ma Giordano non si ferma qui, paragona le solitudini dei due protagonisti, Alice e Mattia, a quella di un particolare sottoinsieme dei numeri primi, i numeri primi gemelli. Come Alice e Mattia sono evidentemente attratti l'un l'altro ma non riescono in alcun modo a infrangere la distanza che li separa, così i numeri primi possono avvicinarsi solo a distanza di 2 unità, non oltre: ci sarà sempre almeno un numero a dividerli (esistono solo due numeri primi contigui nella successione dei numeri naturali, il 2 e il 3).

"Tra i numeri primi ce ne sono alcuni ancora più speciali. I matematici li chiamano primi gemelli: sono coppie di numeri primi che se ne stanno vicini, anzi quasi vicini, perché fra di loro vi è sempre un numero pari che gli impedisce di toccarsi per davvero. Numeri come l'11 e il 13, come il 17 e il 19, il 41 e il 43. Se si ha la pazienza di andare avanti a contare, si scopre che queste coppie via via si diradano. Ci si imbatte in numeri primi sempre più isolati, smarriti in quello spazio silenzioso e cadenzato fatto solo di cifre e si avverte il presentimento angosciante che le coppie incontrate fino a lì fossero un fatto accidentale, che il vero destino sia quello di rimanere soli. Poi, proprio quando ci si sta per arrendere, quando non si ha più voglia di contare, ecco che ci si imbatte in altri due gemelli, avvinghiati stretti l'uno all'altro. Tra i matematici è convinzione comune che per quanto si possa andare avanti, ve ne saranno sempre altri due, anche se nessuno può dire dove, finché non li si scopre."

Giorni addietro ho avuto la pazienza di cercare altre informazioni nel web sui numeri primi gemelli, così ho trovato l'elenco delle prime 35 coppie di questi singolarissimi numeri: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Sinceramente, quanti di voi si erano già accorti che la targa dell'auto di Paperino è un numero primo e per di più di una coppia di primi gemelli?! Io no davvero, che mattacchione Walt Disney! :-)

Scherzi a parte. Curioso come sono, mi son chiesto cosa sarebbe venuto fuori applicando a tali coppie la riduzione teosofica o numerologica che dir si voglia, ovvero quella semplice operazione che ricava da ogni numero, in modo univoco, un'unica cifra da 1 a  9. Come si fa? Facile, si sommano le singole cifre che compongono il numero, considerandone solo il valore nominale e ignorando quello posizionale. Per esempio (nel sistema decimale), nel numero 347 ogni cifra ha un preciso valore posizionale: 3x10+4x10+7x10=300+40+7. Se invece considero solo il valore nominale di 3, 4, 7 otterrò  347=3+4+7=14 e applicando lo stesso ragionamento 14=1+4=5. Quindi la riduzione numerologia di 347 è 5. Mi sono divertito a considerare il valore numerologico di tutte le prime 35 coppie di numeri primi gemelli e mi sono accorto che:
  • a parte le coppie (3, 5) e (5, 7) - già composte da numeri di una sola cifra - tutte le altre, si riducono numerologicamente a 3 sole coppie: (2, 4), (8, 1), (5, 7); 
  • in altre parole, (3, 5) è una coppia unica e irripetibile; (5, 7) sta in compagna delle infinite altre coppie di numeri primi gemelli che, ridotte numerologicamente, danno ancora (5, 7); tutte le altre infinite coppie di numeri primi gemelli, ridotte danno (2, 4) oppure (8, 1).
  • se osserviamo che 2, 4, 8, 1, sono tutte potenze di 2, possiamo scrivere (2, 4) e (8, 1) in una forma più elegante: (21, 22) e (23, 20);
  • poiché solo (5, 7) è una coppia di numeri primi gemelli, mentre (21, 22) e (23, 20) non sono nemmeno coppie di numeri primi, mi chiedo se, da un punto di vista matematico, abbia un qualche significato la successione delle coppie di numeri primi gemelli che ridotte numerologicamente danno (5, 7), evidenziate in rosa nella sequenza che segue, ovvero: (5, 7), (41,43), (59, 61), (149, 151), (239, 241), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (599, 601), (617, 619) ecc.
Se un matematico passasse da questa parti è potesse rispondermi..
  1. (3, 5)
  2. (5, 7)                                       
  3. (11, 13) equivalente a (2, 4)        
  4. (17, 19) equivalente a (8, 1)     
  5. (29, 31) equivalente a (2, 4)    
  6. (41, 43) equivalente a (5, 7)      
  7. (59, 61) equivalente a (5, 7)    
  8. (71, 73) equivalente a (8, 1)    
  9. (101, 103) equivalente a (2, 4)
  10. (107, 109) equivalente a (8, 1)
  11. (137, 139) equivalente a (2, 4)
  12. (149, 151) equivalente a (5, 7) 
  13. (179, 181) equivalente a (8, 1)
  14. (191, 193) equivalente a (2, 4)
  15. (197, 199) equivalente a (8, 1)
  16. (227, 229) equivalente a (2, 4)
  17. (239, 241) equivalente a (5, 7)
  18. (269, 271) equivalente a (8, 1)
  19. (281, 283) equivalente a (2, 4)
  20. (311, 313) equivalente a (5, 7)
  21. (347, 349) equivalente a (5, 7)
  22. (419, 421) equivalente a (5, 7)
  23. (431, 433) equivalente a (8, 1) 
  24. (461, 463) equivalente a (2, 4)
  25. (521, 523) equivalente a (8, 1)
  26. (569, 571) equivalente a (2, 4)
  27. (599, 601) equivalente a (5, 7)
  28. (617, 619) equivalente a (5, 7)
  29. (641, 643) equivalente a (2, 4)
  30. (659, 661) equivalente a (2, 4)
  31. (809, 811) equivalente a (8, 1)
  32. (821, 823) equivalente a (2, 4)
  33. (827, 829) equivalente a (8, 1)
  34. (857, 859) equivalente a (2, 4)
  35. (881, 883) equivalente a (8, 1) 

10 : commenti:

chiara ha detto...

Altro che assistente sociale... tu hai sbagliato lavoro... dovevi fare il matematico!!! Mi hai fatto girare la testa!!!

Daniele ha detto...

No il matematico no, in realtà sono troppo distratto e sbaglio spesso i conti! ;)

Hai ragione però che "assistente sociale" mi sta molto stretto e non a caso da 8 anni non seguo più casi e mi occupo di tutt'altro.

Vedi... la mia insegnate di disegno alle medie aveva supplicato i miei genitori di iscrivermi al liceo artistico...

invece ho frequentato il classico...

poi ho sbagliato a non prendere architettura (sarei diventato un ottimo architetto... rimpiango di non avere seguito quella vocazione)...

invece ho dato 8 esami di ingegneria, prima di capire che non era per me...

solo a quel punto ho preso la laurea breve in servizio sociale...

poi, lavorando, ho preso la laurea in scienze politiche, mettendo nel piano di studio tutti gli esami possibili di psicologia da un lato e di statistica dall'altro! :)

Se poi aggiungi che mi piace suonare la chitarra, scrivere e pubblicare poesie...

senza dimenticare gli anagrammi...

e che il mio punto debole è la memoria (mi entusiasmo di tante cose, ma trattengo poco)...

allora cominci a farti un quadro un pochino più veritiero della caotica sintesi di opposti che sono! :)

Nota dolente: il problema è trovare una collocazione in questa società per uno così...

Carlotta ha detto...

..una continua scoperta, questo Daniele ;-)... ma dimmi, non sarai mica anche tu un surfista (dopo la domanda sul Garda mi è sorto il dubbio)

the daffodils ha detto...

Si puo' dire che non ho capito nulla, ma va bene lo stesso. Bel post.Io e la matematica siamo separati da un abisso largo largo...largo una cifra infinita...tanto largo che non ne hanno ancora scoperto il numero di metri/km :0D

Fay ha detto...

Interessante, Daniele.
La butto lì perché non sono una matematica: so che i numeri primi sono impiegati nella formulazione di combinazioni e codici crittografici, e che se ne cercano continuamente di nuovi, per cui mi viene in mente che probabilmente la legge della somma delle cifre che tu hai scoperto possa essere impiegata nella ricerca di quest'ultimo (che poi magari avrebbe anche un suo gemello!): restringerebbe il campo di ricerca sapere che la somma delle cifre sia eguale a 1, 2, 3 (ma forse no), 4, 5, 7, e 8 e che le coppie relative ai gemelli siano solo tre (o quattro, nel caso ricompaia 3;5).

Daniele ha detto...

@Carlotta
No, il surf proprio no! Nonostante il mio segno zodiacale non amo particolarmente l'acqua... semmai sarei più portato per l'aria: un'estate di 15 anni fa ho fatto 7 o 8 voli col parapendio, ma poi ho rinunciato a prendere il brevetto... per vari motivi.

Daniele ha detto...

@Daffodils
E mia figlia è sulla tua strada... e mi dispiace tanto di non riuscire ad appassionarla alla matematica. A me matematica o letteratura, numeri o arte, conti o enigmistica, mi stimolano allo stesso modo.
In fondo la matematica è nient'altro che un linguaggio con alfabeto, segni e regole differenti da quello che usiamo per parlare... e si avvicina molto al linguaggio della Creazione.

Daniele ha detto...

@Fay
E chissà! Ho un vecchio amico fisico particellare (come Paolo Giordano) che lavora all'INFN, la prossima volta che lo sento gli chiedo una consulenza al riguardo. ;)

Carlotta ha detto...

- pensa te, che nonostante il nostro segno io non so nemmeno nuotare ;-) Bello il parapendio, mi avevano proposto di provare circa 5 anni fa, ero tentata ma poi ho dovuto rinunciare...per vari motivi

Marco ha detto...

Ciao Daniele.
Non è mai una bella cosa riesumare post così vecchi, ma stamattina sono capitato qui per caso e, per vari motivi, questo sembrava quasi fatto apposta per me..
ora, io non sono propriamente un matematico, ma "passavo di qui", e cercherò di dare una risposta alle questioni finali, che a quanto pare sono rimaste in attesa fino adesso..

Probabilmente non importerà più nulla, ma tant'è.

Hai notato che la radice numerica (ovvero la "riduzione numerologica") delle coppie di interi gemelli è, per le prime 35 coppie, sempre una tra (2,4), (5,7), (8,1) - a parte la (3,5) che compare 1 sola volta.
Mi è venuto il vezzo di dimostrare che dev'essere così per tutte le coppie di interi gemelli, ragionando come segue.
Su 3 numeri consecutivi, uno e uno solo è divisibile per 3. Prendendo i due primi gemelli e l'intero che li separa, quest'ultimo è per forza quello divisibile per 3 (oltre che per 2, perché in mezzo a due dispari; quindi anche per 3*2=6). Quindi, per il criterio della divisibilità per 3 (un numero è divisibile per 3 se lo è la somma delle sue cifre), la somma delle cifre del numero centrale è 3, 6, o 9.
Ora, dato un numero intero positivo N, se S è la somma delle sue cifre, la somma delle cifre di (N+1) è uguale a (S+1) se S è tra 1 e 8, mentre è uguale a 1 se S=9; in altre parole, dopo il 9 si torna a 1.
Pertanto, poiché la "riduzione" del numero centrale è 3, 6 o 9, segue che la riduzione delle coppie di gemelli (che sono "ai lati" del numero centrale) non può essere che (2,4), (5,7), o (8,1).
L'unica eccezione è la (3,5) che è unica poiché il 3 è l'unico numero primo divisibile per 3, mentre nessun altro primo può esserlo.

Vale il viceversa? Ovvero, se la riduzione di una coppia di numeri separati da un terzo numero centrale è una delle 3 coppie indicate, allora quella coppia è composta certamente da interi gemelli? Purtroppo no, altrimenti sarebbe un criterio interessante per cercare i primi gemelli.
Invece, l'unica cosa che si può dire è che il numero in mezzo alla coppia è divisibile per 3 e per 2, pertanto è un multiplo di 6.

Ovviamente, tutti i primi gemelli hanno nel mezzo un multiplo di 6.. o il 6 stesso, come la famosa (5,7).
Ora, delle tre coppie indicate, solo la (5,7) è composta a sua volta da primi gemelli, perché "costruita" intorno al 6; le altre due, che hanno un numero centrale con riduzione dispari 3 o 9, sono composte per forza da numeri pari e perciò non primi (a parte il 2).
Il 6 è l'unico intero pari, compreso tra 1 e 9, divisibile per 3. Ed è anche l'unico multiplo di 6 compreso tra 1 e 9.
Perciò c'è solo una coppia di riduzioni di numeri primi gemelli, costituita a sua volta da primi gemelli.

I numeri primi non sono disposti in maniera regolare lungo la successione degli interi; allo stesso modo i primi gemelli. Ci sono, se vogliamo, tre "tipi" di primi gemelli, a seconda della "riduzione" della coppia. Il "tipo (5,7)" è uno dei tre, e come gli altri si ripete lungo i numeri interi, senza - a mio avviso - un particolare significato.

dopo questa "riesumazione" di post....
un saluto
Marco

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